Que es la Factorización??

FACTORIZACION

¿ Que significa factorizar?

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Primero recuerde que los términos que conforman una multiplicación se llaman factores.

Por ejemplo:

2.3.5=30 , el 2 el 3 y el 5 son factores de 30

.En el caso de una expresión algebraica, los factores son términos algebraicos que se multiplican entre si.

En este caso:

2x(x+3)(x-2) ,consiste en una multiplicación de 4 factores, en este caso el 2, la "x", el termino (x+3) y (x-2) son factores, por que están expresados en forma de producto, es decir en forma de multiplicación.

.Esto significa que FACTORIZAR una expresión algebraica, consiste en transformarla de manera que se vea como una multiplicación de términos.

CASO 1

FACTOR COMUN:

-Se aplica en binomios, trinomios y polinomios de 4 términos o mas. No aplica para monomios

-Es el primer caso de factorización que se debe inspeccionar cuando se trata de factorizar un polinomio

-El factor común es aquello que se encuentra multiplicando en cada uno de los términos del polinomio algebraico.

-Puede ser un numero, una letra, varias letras, un signo negativo, una expresión algebraica encerrada en paréntesis, o combinaciones de todo lo anterior.

¿COMO REALIZAR LA FACTORIZACION?

• De los coeficientes de los términos se extrae el MCD ( Máximo común Divisor) de ellos.

• De las letras o expresiones encerradas en paréntesis, se extrae la de menor exponente.

• Se escribe el factor común seguido de un paréntesis donde se anota el polinomio que queda después de que el factor común ha abandonado cada termino.

.+.-.

= (+-)

Lo que observamos que esta multiplicando en cada uno de los términos es la manzana, por lo tanto ella constituye el factor común de este trinomio, factorizamos este trinomio, escribiendo el factor común en este caso representado por la manzana, queda seguida de un paréntesis donde anotamos el polinomio que queda después de que el factor común abandona cada termino.

Ejemplo:

.3x+3y=3(x+y)

Tenemos un binomio, donde observamos claramente que el 3 es el numero que se encuentra multiplicando en cada termino, entonces ese numero constituye el factor común, lo escribimos seguido del paréntesis y dentro de el anotamos el binomio que queda después de que el 3 abandona cada termino y asi tenemos la factorización de este binomio, mediante el caso llamado factor común.

CASO 2

FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS:

-Se aplica en polinomios que tienen 4,6,8 o mas términos (siempre que el numero de ellos sea par), y donde ya se ha verificado que no se puede extraer factor común ( es decir, se ha descartado el caso 1 de factorización).

¿CÓMO REALIZAR LA FACTORIZACION?

• Se forman grupos de igual numero de términos, buscando que exista alguna familiaridad entre ellos (es decir, que tengan rasgos comunes).

• La agrupación se hace colocando paréntesis.

• ¡Cuidado! Deben cambiarse los signos de los términos encerrados en paréntesis si este queda procedido de sigo negativo.

• Se extrae factor común de cada grupo formado (es decir, aplicamos el caso 1 en cada expresión encerrada en paréntesis).

• Por ultimo, se extrae factor común de toda la expresión (es decir, se aplica nuevamente el caso 1; en esta ocasión, el factor común es una expresión algebraica encerrada en paréntesis.

EJEMPLO:

Px+mx+py+my

=(px+mx)+(py+my)

=x(p+m)+y(p+m

= (p+m)(x+y)

Observamos un polinomio de cuatro términos, lo primero que hacemos es revisar si se cumple el caso 1 de factorización, es decir miramos si hay un factor común, si hacemos la revisión de los términos, vemos que no hay un numero o una letra que este presente en todos ellos, entonces descartamos el caso numero 1 de factorización, no tenemos factor común.

El hecho de que este polinomio tenga cuatro términos, nos indica que el caso numero dos es favorable en esta situación, procedemos entonces a formar grupos de dos términos, observamos que los dos primeros tienen la letra x y los dos últimos la letra y, Estos se convierten en rasgos comunes que nos permiten hacer la agrupación.

CASO 3

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

-Se aplica solamente en binomios, donde el primero termino es positivo y el segundo termino es negativo

-Se reconoce por que los coeficientes de los términos son números cuadrados perfectos (es decir, números que tienen raíz cuadrada exacta, los exponentes de las letras son cantidades pares

¿COMO REALIZAR LA FACTORIZACION ?

• Se extrae la raíz cuadrada de cada termino: Al coeficiente se le extrae la raíz cuadrada normalmente y, a las letras, exponente se divide en 2.

EJEMPLO:

Si tenemos la raíz cuadrada de 81,esta es igual a 9.

Si tenemos la raíz cuadrada de 225,esto nos da como resultado 15.

• Se abren dos grupos de paréntesis, conectados entre sí por multiplicación.

• Las raíces cuadradas que se obtuvieron de cada termino, se anotan dentro de cada paréntesis: en el primero van sumando y en el segundo van restando (es decir, se obtiene el producto notable llamado SUMA POR DIFERENCIA)

CASO 4

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

-El trinomio debe estar organizado en forma ascendente o descendente (cualquiera de las dos).

-Tanto el primero como el tercer termino deben ser positivos. Asimismo, esos dos términos deben ser cuadrados perfectos (es decir, deben tener raíz cuadrada exacta). En otras palabras, el primero y el tercer termino deben reunir las características de los términos que conforman una diferencia de cuadrados perfectos.

¿CÓMO REALIZAR LA FACTORIZACION?

• Primero debemos verificar que se trata de un Trinomio cuadrado perfecto (TCP). Para ello extraemos la raíz cuadrada tanto del primer como del tercer termino.

• Realizamos el doble producto de las raíces obtenidas y comparamos el resultado con el segundo termino (sin fijarnos en el signo).Si efectivamente nos da, entonces tenemos un TCP.

• La factorización de un TCP es un Binomio elevado al cuadrado, que se construye anotando las raíces cuadradas del primer y tercer termino, y entre ellas el signo del segundo termino.

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